Ce qui fixe la fréquence

De quoi dépend la cadence d'un balancier-spiral ? On peut le deviner. Plus le balancier est difficile à mettre en mouvement, plus il est lent : c'est son moment d'inertie I. Plus le spiral est raide, plus il le ramène vite : c'est son couple élastique M, le couple qu'il exerce pour un radian de rotation. Rien d'autre n'intervient, à condition que l'échappement le laisse libre.

Et quelle est la loi exacte ? Supposons qu'on rende le balancier quatre fois plus difficile à faire tourner. Le spiral, lui, n'a pas changé : il donne au balancier quatre fois moins d'accélération, pour le même angle à parcourir. Or, pour parcourir une distance donnée en partant du repos, le temps varie comme la racine de la distance divisée par l'accélération. Quatre fois moins d'accélération : le temps est multiplié par √4 = 2. La période varie donc comme la racine de I divisé par M :

• Balancier plus lourd ou plus grand (I ↑) → période plus longue → la montre retarde.
• Spiral plus raide ou plus court (M ↑) → période plus courte → la montre avance.

Remarque le r² dans le moment d'inertie : la masse compte d'autant plus qu'elle est loin de l'axe. Une même masse, deux fois plus loin, compte quatre fois plus. C'est pour cela qu'on concentre la masse du balancier dans sa serge, au bord.

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Le couple du spiral

Le spiral est une lame qui plie. Une règle en plastique plie facilement à plat, et presque pas sur la tranche : la raideur d'une lame dépend énormément de son épaisseur dans le sens où elle plie. Précisément, elle varie comme le cube de cette épaisseur e. Elle est proportionnelle à sa hauteur h et à l'élasticité E du métal, et inversement proportionnelle à sa longueur L : un spiral deux fois plus long plie deux fois plus facilement.

Les balanciers

Le balancier idéal a un grand moment d'inertie pour une faible masse, puisqu'une masse lourde charge les pivots : sa masse est donc concentrée dans la serge, loin du centre. Les balanciers actuels ont trois bras et sont en cuivre-béryllium (qualité supérieure) ou en maillechort. Autrefois, on vissait 16 à 18 vis dans la serge pour l'équilibrer et l'ajuster ; les balanciers bimétalliques coupés (laiton et acier) compensaient même les effets de la température en se déformant.

Les matériaux du spiral

L'élasticité E d'un acier ordinaire diminue quand il chauffe : le spiral devient plus mou, la période s'allonge. Combien ? Pour un spiral en acier, une dizaine de secondes par jour pour chaque degré. Entre une montre gardée à 10 °C et la même portée à 30 °C, l'écart dépasserait trois minutes par jour. C'est pour cela que les spiraux modernes sont en alliages autocompensateurs (Nivarox, de la famille des Élinvar inventés par Charles-Édouard Guillaume, prix Nobel de physique 1920), dont l'élasticité ne varie presque plus avec la température, ou en silicium oxydé, amagnétique et compensé lui aussi.

Un ordre de grandeur

Une variation relative de période ΔT/T se traduit directement en marche. Un jour compte 86 400 secondes : si chaque oscillation dure un millionième de plus, la montre perd 86 400 millionièmes de jour, soit 0,086 s par jour. Une seconde par jour, c'est donc 1/86 400 ≈ 11,6 millionièmes.

marche [s/j] ≈ −86 400 · ΔTT

Appliquons-le au spiral. M varie comme 1/L, donc T comme √L : allonger la partie active de 0,01 % allonge la période de la moitié, 0,005 %, soit 5 cent-millièmes. La marche change de 86 400 × 0,000 05 ≈ 4 s/j. Un dix-millième de la longueur du spiral, et la montre retarde de quatre secondes par jour.