Le pendule

Selon son disciple Viviani, Galilée aurait remarqué, en regardant osciller les lustres de la cathédrale de Pise, qu'ils mettaient le même temps pour aller et venir, que leurs oscillations soient grandes ou petites. Cherchons ce qui fixe ce temps.

D'abord, la masse. Une boule deux fois plus lourde est tirée vers le bas deux fois plus fort, mais elle est aussi deux fois plus difficile à mettre en mouvement. Les deux effets s'annulent exactement : c'est la même raison qui fait qu'une boule de plomb et une boule de bois, lâchées ensemble, tombent ensemble (si l'air ne les freine pas). La masse ne compte pas.

Ensuite, la longueur. Écarte un pendule d'un angle donné, disons 5°. Ce qui le ramène, c'est la composante de la pesanteur le long de sa trajectoire : g × sin 5°, quelle que soit sa longueur. Mais le chemin à parcourir, l'arc jusqu'au point le plus bas, est proportionnel à la longueur. Même accélération, chemin quatre fois plus long : il faut deux fois plus de temps (on a vu ce raisonnement au module 6 : le temps varie comme la racine du chemin divisé par l'accélération). La période varie donc comme la racine de la longueur, et comme l'inverse de la racine de g :

[Schéma interactif]

Pourquoi « presque » ? Parce que la force de rappel, g × sin θ, n'est proportionnelle à l'angle que pour de petits angles (module 6). Quand l'amplitude grandit, la période s'allonge un peu, d'environ θ²/16 en valeur relative, θ en radians. Pour 5°, soit 0,087 rad, c'est 0,05 %. Cela paraît négligeable, mais si l'amplitude passe de 5° à 4°, la période change d'environ 0,017 %, soit une quinzaine de secondes par jour. D'où l'intérêt d'une amplitude petite et constante.

Pendule simple, pendule composé

La formule vaut pour un pendule simple : une masse ponctuelle au bout d'un fil sans masse. Un vrai pendule d'horloge a une tige qui pèse, une lentille épaisse : c'est un pendule composé. Sa longueur « utile » se mesure jusqu'à son centre d'oscillation, un peu au-dessus du centre de la lentille si la tige est lourde. En pratique, on calcule avec la formule simple puis on ajuste à l'essai.

Le réglage

De combien faut-il bouger la lentille ? Le même calcul qu'au module 6 : T varie comme √L, donc allonger le pendule de 0,1 % allonge la période de 0,05 %. Pour un pendule de 1 m, 1 mm vaut 0,1 % : la période s'allonge de 0,05 %, et l'horloge retarde de 86 400 × 0,000 5 ≈ 43 s par jour.

• La lentille coulisse sur la tige et repose sur un écrou de réglage.
• Horloge qui avance → période trop courte → on descend la lentille.
• Horloge qui retarde → on remonte la lentille.
• Ordre de grandeur pour un pendule de 1 m : allonger de 1 mm fait retarder d’environ 43 s par jour.

Passe à la pratique Atelier : Le pendule de ton horloge — calcule, règle et teste la longueur de ton pendule (même sur la Lune).